Аналіз ланцюга в тимчасовій області методом змінні стани при постійних впливах

Дано:

Для схеми:

U ₀ (t)= U ₀ =const U ₀ =5 У

i ₀ (t)=I _{0 d 1} (t) I ₀ =2 A

1. 1. Скласти рівняння стану для ланцюга при t і 0.

Змінними стану для даної схеми будуть напруги на ємностях З ₁ і З ₄ . Для знаходження рівнянь стану запишемо рівняння по I і II законах Кирхгофа:

(1)

Для знаходження похідних змінні стани вирішимо наступну систему, отриману із системи (1), прийнявши за невідомі всі струми, що беруть участь у системі (1) і перші похідні змінні стани. Змінні стани приймемо за відомі величини для одержання їх у правій частині рівнянь стану:

(2)

Вирішуємо цю систему в матричному виді за допомогою MathCad:

1.2 Знайти точні рішення рівнянь стану

Спочатку знайдемо корінь характеристичного рівняння як власні числа матриці, складеної з коефіцієнтів при змінні стани в рівняннях стану:

Загальний вид точних рішень рівнянь стану:

Змушені складові знайдемо як приватне рішення рівнянь стану, зважаючи на те, що якщо в ланцюзі включені тільки постійні джерела харчування, виходить, і примушені складові будуть константами, відповідно похідні примушених складових будуть дорівнюють нулю. З огляду на вище сказане, знайдемо їх з рівнянь стану в такий спосіб:

Початкові умови (перебувають зі схеми):

Для знаходження постійні інтегрування A ₁ , A ₂ , A ₃ , A ₄ потрібно 4 рівняння. Перші два рівняння одержимо з виражень точного рішення рівнянь стану, з огляду на закони комутацій: змінні стани не міняють свого значення в момент комутації

При t=0:

Далі знайдемо значення похідних змінні стани при t=0 з рівнянь стану:

Вираження ці похідних знайдені з виражень рішення рівнянь стану:

При t=0:

У такий спосіб маємо 4 рівняння для знаходження постійні інтегрування, знаходимо їх:

Точні рішення рівнянь стану:

1. 1. Знайти рішення рівнянь стану, використовуючи один із чисельних методів.

Для чисельного рішення рівнянь стану скористаємося алгоритмом ейлера:

Підставляючи вираження похідних з рівнянь стану:

h - крок розрахунку =2*10 ^-6 с. i=1...100. Змінними з нульовими індексами є значення початкових умов

1.2.2 Знайти точні рішення рівнянь стану.(другий спосіб)

e ^(A)t = a ₀ + a ₁ (A) e ^(A)t =

(X) = [e ^(A)t -1][A] ^-1 [B][V]

1.4 Побудувати точні й чисельні рішення рівнянь стану, сполучивши їх попарно на одному графіку для кожної зі змінної стану

Частина 2

Аналіз ланцюга операторним методом при аперіодичному впливі

Аналізу підлягає наступний ланцюг:

Параметри імпульсу: U _m =10 У t _u =6*10 ^-5 c

Форма імпульсу:

2.1 Визначити функцію передачі:

скористаємося методом пропорційних величин і визначимо u(t)=1(t), його Лапласово зображення U ₀ (s)=1/s

Запишемо рівняння за законами Кирхгофа в операторной формі, з огляду на, що початкові умови нульові:

Вирішуємо цю систему:

У такий спосіб:

Функція передачі:

2.2 Знайти нулі й полюси функції передачі й нанести їх на площину комплексної частоти. Полюси:

Нулі:

Площина комплексної частоти:

2.3 Знайти перехідну й імпульсну характеристики для вихідної напруги.

Імпульсна характеристика:

Виділимо постійну частину в H _U (s):

Чисельник дробу, що вийшло:

Спрощене вираження H _U (s):

Для знаходження оригіналу скористаємося теоремою про розкладання. Для цього знайдемо похідну знаменника:

Коефіцієнти розкладання:

Оригінал імпульсної характеристики:

Перехідна характеристика:

Цим же методом знаходимо оригінал характеристики:

2.4 Визначити зображення по Лапласові вхідного імпульсу

Изабражение по Лапласові фукции f(t):

Вхідний імпульс являє собою функцію

Тому зображення вхідного сигналу буде

2.5 Знайти напругу на виході схеми, використовуючи H _U (s)

Зображення вихідного сигналу:

Знайдемо окремо оригінали частини вираження при й при частині, що не має цього множника:

Для частини вираження при ,використовуючи теорему про розкладання:

Для частини вираження не має множника ,використовуючи теорему про розкладання:

Функція напруги на виході схеми, отримана з використанням теореми про зсув оригіналу:

2.6 Побудувати на одному графіку перехідну й імпульсну характеристики ланцюга, на іншому - вхідний і вихідний сигнали

Перехідна h ₁ (t) і імпульсна h(t) характеристики

Вхідний і вихідний сигнали

Частина 3

Аналіз ланцюга частотним методом при аперіодичному впливі

3.1 Знайти й побудувати амплітудно^-фазову (АФХ), амлитудно-частотну (АЧХ) і фазо-частотну (ФЧХ) характеристики функцій передачі H _U (s)

амплітудно-фазова характеристика:

амплітудно-частотна характеристика:

фазо-частотна характеристика:

Графік АЧХ:

Графік ФЧХ:

3.2 Визначити смугу пропущення ланцюга за рівнем 0.707

Із графіка АЧХ знаходимо смугу пропущення ланцюга: з ^-1

3.3 Знайти й побудувати амплітудний і фазовий спектри вхідного сигналу за рівнем 0.1

Амплітудний спектр вхідного сигналу:

Фазовий спектр вхідного сигналу:

Графік амплітудного й фазового спектра вхідного сигналу:

Ширина спектра з ^-1

3.4 Зіставляючи спектри вхідного сигналу із частотними характеристиками ланцюга, дати попередні висновки про очікувані перекручування сигналу на виході ланцюга

Істотна частина амплітудного спектра вхідного сигналу укладається в смугу пропущення, крім смуги 0-5*10 ⁴ з ^-1 , де й будуть спостерігатися основні амплітудні перекручування. Фазо-Частотна характеристика ланцюга нелинейна, тому тут будуть мати місце фазові перекручування, що видно на рис

3.5 Знайти й побудувати амплітудний і фазовий спектр вихідного сигналу

Виходять по формулах:

3.6 Визначити вихідний сигнал по речовинній частотній характеристиці, використовуючи наближений метод Гиллемина.

Речовинна характеристика:

Істотну частину цієї характеристики кусочно-лінійно апроксимуємо. Накреслимо першу й другу похідну кусочно-лінійної апроксимуючої функції

Графік речовинної характеристики:

Тоді:

Графік напруги, обчисленого по цій формулі, і отриманий у ч.2

Частина 4

Аналіз ланцюга частотним методом при періодичному впливі

Дано: T=18*10 ^-5 c. U _m =10 У. t _u =6*10 ^-5 c

форма сигналу u ₀ (t):

4.1 Розкласти в ряд Фур'є задану періодичну послідовність імпульсів і побудувати її амплітудний і фазовий спектри.

Коефіцієнти ряду Фур'є для u ₀ (t) знайдемо з наступного співвідношення:

де w ₁ = 2 p /Т , k=0, 1, 2, ... w ₁₌ 3.491*10 ⁴ с.

Значення A _k і a _k наведені в табл. ,на мал. , побудовані відповідно амплітудний і фазовий спектри заданої періодично послідовності сигналів u ₀ (t).

Таким чином, відповідно до ширини спектра

4.2 Побудувати на одному графіку задану періодичну послідовність імпульсів і її апроксимацію відрізком ряду Фур'є, число гармонік якого визначається шириною амплітудного спектра вхідного сигналу, знайденої в п 3.3