Будь-яка наука, що розвиває загальну теорію якого-небудь кола явищ, містить ряд базових основних понять. У геометрії - це поняття крапки, прямій, лінії, у механіку - поняття сили, маси швидкості, прискорення. Природно, що не всі основні поняття можуть бути повністю визначені, тому що "визначити" поняття - значить звести його до інших, більше відомим. Очевидно, процес визначення одних понять через інші повинен десь кінчатися, дійшовши до самих первинних понять, до яких зводяться всі інші й котрі самі не визначаються, а тільки пояснюються. Такі поняття існують і в теорії ймовірностей. Розглянемо деякі з них
Під експериментом (випробуванням, досвідом) ми будемо розуміти деяку відтворену сукупність умов, у яких спостерігається те або інше явище, фіксується той або інший результат. Помітимо, що "досвід" не обов'язково повинен бути поставлений людиною; він може протікати незалежно від нього; при цьому людина виступає в ролі спостерігача або фіксатора происходящего від його залежить тільки рішення, що саме спостерігати і які явища фіксувати
Якщо результат експерименту варіюється при його повторенні, говорять про досвід з випадковим результатом. Саме такі досвіди ми будемо тут розглядати й додавання "з випадковим результатом" для стислості опускати. Той факт, що при повторенні досвіду його основні умови зберігаються, і, виходить, ми вправі очікувати стійкості частот, теж не буде щораз обмовляти
Випадковою подією ( або, коротше, просто подією ) називається всякий факт, що у досвіді з випадковим результатом може відбутися або не відбутися. Події ми будемо позначати більшими буквами латинського алфавіту
Для приклада розглянемо кілька подій
1. Кидання монети; подія A - поява герба
2. Кидання трьох монет; подія B - поява трьох гербів
3. Передача групи з n сигналів; подія C - перекручування хоча б одного з них
4. Постріл по мішені; подія D - влучення
5. Виймання навмання однієї карти з колоди; подія Е - поява туза
6. Той же досвід, що в прикладі 5; подія F - поява карти червової масті
У всіх прикладах події A,B,C мають якийсь ступінь можливості - одні більшої, а інші меншої, причому для деяких з них ми відразу можемо вирішити, яке з них більше, а яке менш можливо. Наприклад, подія A більш можливо (імовірно), чим B, а подія F більш можливо, ніж Е. Будь-яка випадкова подія має якийсь ступінь можливості, що у принципі можна виміряти чисельно. Щоб порівнювати події по ступені їхньої можливості, потрібно зв'язати з кожним з них якесь число, що тим більше, чим більше можливість події. Це число ми й назвемо ймовірністю події
Порівнюючи між собою по ступені можливості різні події, ми схильні вважати більше ймовірними тої події, які відбуваються частіше, менш імовірними - ті, які відбуваються рідше; малоймовірними - ті, які взагалі не відбуваються. Наприклад, подія "випадання дощу в Москві 1-го червня майбутнього року" більш імовірно, ніж "випадання снігу в Москві в той же день", а подія "землетрусу в Москві, що перевищує по інтенсивності 3 бали, протягом майбутнього року" украй мало ймовірно (хоча такий землетрус і спостерігалося в 1977 р., і статистика говорить, що подібні події відбуваються раз в 100 років). Таким чином, поняття ймовірності події із самого початку тісно погоджується з поняттям його частоти
Характеризуючи ймовірності подій числами, потрібно встановити якусь одиницю виміру. Як така одиниця природно взяти ймовірність достовірної події, тобто такої події, що у результаті досвіду неминуче повинне відбутися. Приклад достовірної події - випадання не більше шести очка при киданні гральної кістки. Інший приклад достовірної події: "камінь, кинутий нагору рукою, повернеться на Землю, а не стане її штучним супутником"
Протилежністю достовірної події є неможлива подія - те, що у даному досвіді взагалі не може відбутися. Приклад: " випадання 12 очка при киданні однієї гральної кістки "
Якщо приписати достовірній події ймовірність, рівну одиниці, а неможливому - рівну нулю, те всі інші події - можливі, але не достовірні будуть характеризуватися ймовірностями, що лежать між нулем і одиницею, що становлять яку те частку одиниці
Таким чином, установлена одиниця виміру ймовірності - імовірність достовірної події й діапазон імовірностей - числа від нуля до одиниці
Яка би подія A ми б не взяли, його ймовірність P(A) задовольняє умові: 0<P(A)<1
Дуже більшу роль у застосуванні імовірнісних методів грають практично достовірні й практично неможливі події
Подія A називається практично неможливим, якщо його ймовірність не в точності дорівнює нулю, але дуже близька до нуля
Як приклад розглянемо наступний досвід: 32 букви розрізної абетки змішали між собою; навмання виймається одна картка, що коштує на ній буква записується, картка вертається назад і змішується з іншими. Такий досвід виробляється 25 разів. Подія A полягає в тому, що після 25 виймань ми запишемо перший рядок "Євгенія Онєгіна":
"Мій дядько самих чесних правил". Подія A не є фізично неможливим, але ймовірність його настільки мала, що подія з такою ймовірністю можна сміло вважати практично неможливим
Аналогічно, практично достовірним є подія, імовірність якого не в точності дорівнює одиниці, але дуже близька до одиниці
Уведемо нове важливе поняття: протилежна подія. Протилежним події А називається подія А, що складається в непояві події А
Приклад. Досвід: Один постріл по мішені. Подія А - влучення в десятку. Протилежна подія А - невлучення в десятку
Повернемося до практично неможливого й практично достовірним подіям. Якщо якась подія А пра до тически неможливо, то протилежне йому подія А практично вірогідно й навпаки
Практично неможливі (і супутні їм практично достовірні) події відіграють більшу роль у теорії ймовірностей: на них заснована вся її пізнавальна цінність. Жоден прогноз в області випадкових явищ не є й не може бути повністю достовірним; він може бути тільки практично достовірним, тобто здійснюватися з дуже великою ймовірністю
В основі застосування всіх висновків і рекомендацій, що добуваються за допомогою теорії ймовірностей, лежить принцип практичної впевненості, якому можна сформулювати в такий спосіб:
Якщо ймовірність події А в даному досвіді досить мала, те (при однократному виконанні досвіду) можна поводитися так, начебто подія А взагалі неможливо, тобто не розраховувати на його появу
У повсякденному житті ми постійно (хоча й несвідомо) користуємося цим принципом. Наприклад, виїжджаючи кудись на таксі, ми не розраховуємо на можливість загинути в дорожній катастрофі, хоча якась (досить мала) імовірність цієї події все-таки є. Відправляючись улітку на Кавказ або в Крим, ми не захоплюємо із собою зимового верхнього одягу, хоча якась (дуже мала) імовірність того, що нас наздожене мороз, все-таки не дорівнює нулю
Переходимо до самого тонкого й важкого запитання: наскільки мала повинна бути ймовірність події, щоб його можна було вважати практично неможливим ?
Відповідь на питання виходить за рамки математичної теорії й у кожному окремому випадку вирішується із практичних міркувань, відповідно до тої важливості, що має бажаний для нас результат досвіду. Ніж небезпечніше для нас можлива помилка пророкування, тим ближче до нуля повинна бути ймовірність події, щоб його вважати практично неможливим
Існує клас досвідів, для яких імовірності їх можливих исходов можна обчислити, виходячи безпосередньо із самих умов досвіду. Для цього потрібно, щоб різні исходи досвіду мали симетрію й у силу цього були об'єктивно однаково можливими