Математичне моделювання є найважливішим видом формалізованого знакового моделювання. Моделювання здійснюється за допомогою мови математики й логіки. Модель - це наближений опис розглянутого класу явищ, виражене за допомогою математичної символіки. Математичні методи, засновані на математичному моделюванні, усе ширше застосовуються в промислово-економічних дослідженнях, зокрема, в операційних дослідженнях. Особливо часто застосовуються математичні моделі черг і керування запасами
Метод математичного моделювання з появою ЕОМ зайняв провідне місце серед інших методів дослідження. Особливо важливу роль цей метод грає в сучасній економічній науці. Вивчення й прогнозування якого-небудь економічного явища методом математичного моделювання дозволяє проектувати нові технічні засоби, прогнозувати вплив на дане явище тих або інших факторів, планувати ці явища навіть при існуванні нестабільної економічної ситуації
Усяка система факторів рішення, що задовольняють всім обмеженням, називається припустимим рішенням. Кожної із цілей відповідає цільова функція, задана на безлічі припустимих рішень, значення яких виражають міру здійснення мети
Процес математичного моделювання підрозділяється на чотири основних етапи:
1. Відповідно до критерію практики коректування прийнятої гіпотетичної моделі, тобто з'ясування питання про те, чи погодяться результати спостережень із теоретичними наслідками моделі в межах точності спостережень
Модель не може бути прийнята, якщо відхилення виходять за межі точності спостережень. Часто при побудові моделі деякі її характеристики залишаються не певними
Визначення відхилень теоретичних наслідків від спостережень, якщо модель була цілком визначена, показує рішення прямого завдання з наступною оцінкою відхилень
Дане використання критерію практики до оцінки математичної моделі дозволяє робити висновок про правильність положень, що лежать в основі підлягаючому вивченню моделі
2 . Далі треба аналіз моделі у зв'язку з нагромадженням даних про вивчені явища й модернізація моделі
3. Запис у вигляді математичних термінів сформульованих якісних подань про зв'язки між об'єктами моделі. Формулювання законів, що зв'язують основні об'єкти моделі
4. Вивчення математичних завдань, до яких приводять математичні моделі
Рішення прямого завдання є основним питанням
Виходячи із загального процесу економічні моделі, математичного моделювання, зображуються так:
Зміст завдання операційних досліджень полягає в знаходженні найбільш доцільних, оптимальних рішень. Тому завдання операційних досліджень звичайно називаються оптимизационними
Широко математичні моделі використовуються для розробки найбільш важливих завдань в операційних дослідженнях. Дані дослідження побудовані на статистичній або імовірнісній основі. Дослідження дозволяють урахувати зміни факторів, що практично неможливо
Методом вироблення кількісно обґрунтованих рекомендацій із прийняття управлінських рішень є операційні дослідження. Вони містять у собі завдання факторів рішення, які є чисельними змінними, що накладаються на них обмежень і системи цілей
Теорія масового обслуговування
Теорія визначає відповідні характеристики якості обслуговування, виходячи з даних імовірнісних характеристик вступника потоку викликів і тривалості обслуговування й з огляду на схему системи обслуговування
Типовим прикладом об'єктів теорії масового обслуговування можуть служити автоматичні телефонні станції (АТС). На АТС випадковим образом надходять “вимоги” - виклики абонентів, а “обслуговування” складається в з'єднанні абонентів з іншими абонентами, підтримка зв'язку під час розмови й т.д. Завдання теорії, сформульовані математично, звичайно зводяться до вивчення спеціального типу випадкових процесів
Головна мета методів теорії є відшукання розумної організації обслуговування, що забезпечує задану його якість, визначення оптимальних норм чергового обслуговування, потреба в якому виникає непланомірно, нерегулярно. Теорія масового обслуговування вивчає системи, які призначені для обслуговування масового потоку вимог випадкового характеру. Випадковими можуть бути як моменти появи вимог, так і витрати часу на їхнє обслуговування
Даний метод дозволяє визначити оптимальна кількість автоматично діючих машин, що може обслуговуватися одним робітником або бригадою робітників
Допустимо, в автоматичної лінії зв'язку є однаково доступних для абонентів каналів. У випадковий момент часу надходять виклики. За умови, що все каналів лини зв'язки виявляться зайнятими, при надходженні чергового виклику, що тоді надійшов виклик одержує відмову й губиться. Інакше відразу ж спрацьовує сигнал по одному з вільних каналів, що триває випадковий час
Однієї з характеристик ефективності роботи такої лінії зв'язку є частка викликів, що одержують відмову, тобто межа при (якщо він існує) відносини числа викликів, загублених протягом часу , до загального числа викликів, що надійшли за цей час. Ця межа можна назвати ймовірністю відмови
Завдання ціноутворення
Для підприємства питання утворення ціни на продукцію відіграє немаловажну роль. Від того, як проводиться ціноутворення на підприємстві, залежить його прибуток. Крім того, в існуючим зараз умовах ринкової економіки ціна стала істотним фактором у конкурентній боротьбі
Допустимо, що на підприємстві виробляється видів продукції. Позначимо за обсяг продукції i-го типу, якому треба робити ,
Уведемо наступні позначення:
- обсяг продукції i-го типу, якому треба робити ;
- ціна продукції i-го типу, яку потрібно визначити;
- собівартість i-го виду продукції
На ринку ціни міняються, але на основі його вивчення можна визначити існування усередненої ціни
Будь-яке підприємство прагне до одержання максимального прибутку, т.е
Отже, можна вважати, що
Треба також урахувати , що при утворенні ціни кадого виду продукції необхідно враховувати його якість, тобто врахувати залежність ціни від якості ( )
Тому що виражає тільки частина собівартості i-го виду продукції, без обліку частки загальних виробничих витрат, що лягають на продукцію, те визначаємо повну собівартість i-го виду продукції
Тому що величини і є постійними, те дане завдання вирішується за допомогою методу лінійного програмування
Теорія сіткового планування
Сіткове планування й керування (СПУ), є системою планування керування розробкою великих господарських комплексів, конструкторською й технологічною підготовкою виробництва нових видів товарів, будівництвом і реконструкцією, капітальним ремонтом основних фондів шляхом застосування сіткових графіків
Сутність СПУ складається в складанні математичної моделі керованого об'єкта у вигляді сіткового графіка або моделі находящейся в пам'яті ЕОМ, у яких відбивається взаємозв'язок і тривалість певного комплексу робіт. Сітковий графік після його оптимізації засобами прикладної математики й обчислювальної техніки використовується для оперативного керування роботами
Приклад сіткового графіка:
Кружечками на сітковому графіку позначається подію, тобто початок іди кінець роботи, а лінією зі стрілкою - дії, які треба зробити, щоб перейти від попередньої події до наступному
Важливим елементом розробки сіткового графіка є визначення тривалості шляхів. Шляхи представлені лініями, утвореними стрілками взаємозалежних робіт, кінці яких указують на початкове й кінцеве події. Розрізняють повний і критичний шляхи:
Повний шлях (Lп) - шлях, початок якого збігається з вихідною подією мережі, а кінець - з її завершальною подією