До основними арифметичними операціями над матрицями ставляться множення матриці на число, додавання й множення матрицю Для початку домовимося вважати матриці рівними, якщо ці матриці мають однакові порядки й всі їхні відповідні елементи збігаються
Додавання матриць:
Сумою двох матриць, наприклад: A і B , що мають однакову кількість рядків і стовпців, іншими словами, тих самих порядків m і n називається матриця З = (З ij )( i = 1, 2, ... m ; j = 1, 2, ... n ) тих же порядків m і n , елементи Cij якої рівні
Cij = Aij + Bij (i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n) ( 1.2 )
Для позначення суми двох матриць використовується запис C = A + B . Операція складання суми матриць називається їхнім додаванням
Отже, по визначенню маємо:
+ =
=
З формули (1.2) безпосередньо випливає, що операція додавання матриць має ті ж властивості, що й операція додавання речовинних чисел, а саме:
переместительним властивістю: A + B = B + A
сполучною властивістю: ( A + B ) + C = A + ( B + C )
Ці властивості дозволяють не піклуватися про порядок проходження матриць, що складаються, при додаванні двох або більшого числа матриць
Множення матриці на число:
Добутком матриці A = ( Aij ) ( i = 1, 2, ..., m ; j = 1, 2, ..., n ) на речовинне число називається матриця C = ( Cij ) ( i = 1, 2, ... , m ; j = 1, 2, ..., n ), елементи якої рівні
Cij = Aij (i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n). (1.3)
Для позначення добутку матриці на число використовується запис C = A або C = A . Операція складання добутку матриці на число називається множенням матриці на це число
Безпосередньо з формули (1.3) ясно, що множення матриці на число має наступні властивості:
розподільною властивістю щодо суми матриць:
( A + B) = A + B
сполучною властивістю щодо числового множника:
( ) A = ( A)
розподільною властивістю щодо суми чисел:
( + ) A = A + A
Зауваження : Різницею двох матриць A і B однакових порядків природно назвати таку матрицю C тих же порядків, що у сумі з матрицею B дає матрицю A . Для позначення різниці двох матриць використовується природний запис: C = A - B
Перемножування матриць:
Добутком матриці A = ( Aij ) ( i = 1, 2, ..., m ; j = 1, 2, ..., n ), що має порядки відповідно рівні m і n , на матрицю B = ( Bij ) ( i = 1, 2, ..., n ; j = 1, 2, ..., p ), що має порядки відповідно рівні n і p , називається матриця C = (З ij ) ( i = 1, 2, ... , m ; j = 1, 2, ... , p ), що має порядки, відповідно рівні m і p , і елементи Cij , обумовлені формулою
Cij = ( i = 1, 2, ..., m ; j = 1, 2, ..., p ) (1.4)
Для позначення добутку матриці A на матрицю B використовують запис C = AB . Операція складання добутку матриці A на матрицю B називається перемножуванням цих матриць. Зі сформульованого вище визначення випливає, що матрицю A можна помножити не на всяку матрицю B : необхідно щоб число стовпців матриці A було дорівнює числу рядків матриці B . Для того щоб обоє добутку AB і BA не тільки були визначені, але й мали однаковий порядок, необхідно й досить, щоб обидві матриці A і B були квадратними матрицями того самого порядку
Формула (1.4) являє собою правило складання елементів матриці C , що є добутком матриці A на матрицю B . Це правило можна сформулювати й словесно: Елемент Cij , що коштує на перетинанні i -й рядка й j -го стовпця матриці C = AB , дорівнює сумі попарних добутків відповідних елементів i -й рядка матриці A і j -го стовпця матриці B . Як приклад застосування зазначеного правила приведемо формулу перемножування квадратних матриць другого порядку
=
З формули (1.4) випливають наступні властивості добутку матриці A на матрицю B :
сполучна властивість: ( AB ) C = A ( BC );
розподільне щодо суми матриць властивість :
(A + B) C = AC + BC або A (B + C) = AB + AC
Питання про перестановочном властивість добутку матриць має сенс ставити лише для квадратних матриць однакового порядку. Елементарні приклади показують, що добутків двох квадратних матриць однакового порядку не володіє, загалом кажучи, перестановочним властивістю. Справді, якщо покласти
A = , B = , те AB = , а BA =
Ті ж матриці, для добутку яких справедливо перестанавочное властивість, прийнято називати комутуючими
Серед квадратних матриць виділимо клас так званих діагональних матриць, у кожної з яких елементи, розташовані поза головною діагоналлю, дорівнюють нулю. Серед всіх діагональних матриць зі співпадаючими елементами на головній діагоналі особливо важливу роль грають дві матриці. Перша із цих матриць виходить, коли всі елементи головної діагоналі дорівнюють одиниці, називається одиничною матрицею n -ого порядку й позначається символом E . Друга матриця виходить при всіх елементах рівних нулю й називається нульовою матрицею n -ого порядку й позначається символом O . Допустимо, що існує довільна матриця A , тоді AE = EA = A , AO = OA = O
Перша з формул характеризує особливу роль одиничної матриці Е, аналогічну те ролі, що грає число 1 при перемножуванні речовинних чисел. Що ж стосується особливої ролі нульової матриці ПРО, те її виявляє не тільки друга з формул, але й рівність, що перевіряється елементарно: A + O = O + A = A . Поняття нульової матриці можна вводити й не для квадратних матриць
2. Визначники
2.1 Поняття визначника
Насамперед, необхідно запам'ятати, що визначники існують тільки для матриць квадратного виду, тому що для матриць іншого типу не існує визначників. У теорії систем лінійних рівнянь і в деяких інших питаннях зручно використовувати поняття визначника, або детермінанта
2.2 Обчислення визначників
Розглянемо яку-небудь четвірку чисел, записаних у вигляді матриці по двох у рядках і по двох стовпцях. Визначником або детермінантом, складеним із чисел цієї таблиці, називається число ad - bc , позначуване так: . Такий визначник називається визначником другого порядку, оскільки для його складання взята таблиця із двох рядків і двох стовпців. Числа, з яких складений визначник, називаються його елементами; при цьому говорять, що елементи a і d становлять головну діагональ визначника, а елементи b і c його побічну діагональ. Видно, що визначник дорівнює різниці добутків пара елементів, що коштують на його головній і побічній діагоналях. Визначник третього й будь-якого іншого порядку, перебуває приблизно також, а саме: Допустимо, що в нас є квадратна матриця . Визначником наступної матриці є таке вираження : a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a11a23a32 - a12a21a33 - a13a22a31.. Як ви бачите, він прораховується досить легко, якщо запам'ятати певну послідовність. З позитивним знаком ідуть головна діагональ і трикутники, що утворяться з елементів, що мають паралельну головної діагоналі сторону, у цьому випадку це трикутники a 12 a 23 a 31, a 13 a 21 a 32
З негативним знаком ідуть побічна діагональ і трикутники їй паралельні, тобто a 11 a 23 a 32 , a 12 a 21 a 33. Таким чином, перебувають визначники будь-якого порядку. Але бувають випадки, коли й цей метод стає досить складним, наприклад, коли елементів у матриці дуже багато, і для того, щоб порахувати визначник потрібно затратити багато часу й уваги