Основоположником теории квадратичных форм является французский математик Лагранж. Им была доказана конечность числа классов бинарных квадратичных форм заданного дискриминанта. Начинается арифметическая теория квадратичных форм с утверждения Ферма о существовании простых чисел суммой двух квадратов. Теория квадратичных форм продолжала развиваться. Гаусс также вводит много новых понятий. Гауссу сумел получить доказательства трудных и глубоких теорем теории чисел
В данной работе исследуются предварительные общие сведения о бинарных квадратичных формах. Приведено элементарное доказательство известной оценки для числа приведенных неопределенных бинарных квадратичных форм заданного дискриминанта. Здесь рассмотрены периоды неопределенных квадратичных форм, также решены два вопроса о двусторонних формах. Также приведены доказательства, что диагональные формы одного и того же положительного дискриминанта не эквивалентны
Об оценке сверху числа приведенных неопределенных бинарных квадратичных форм
О числе приведенных неопределенных бинарных квадратичных форм, так и о числе классов неопределенных квадратичных форм известно очень мало. Для числа классов бинарных квадратичных форм имеется точная формула Дирихле. Другим важным результатом являются неравенства, принадлежащие немецкому математику Зигелю
где - число приведенных неопределенных бинарных квадратичных форм дискриминанта ; и - положительные постоянные, зависящие от ; причем - любое фиксированное положительное число. Наша цель состоит в том, чтобы элементарным способом доказать верхнюю оценку в неравенствах Зигеля для . Приводимое доказательство будет опираться на некоторые свойства функции числа положительных делителей натурального числа и мы их приведем вначале
Арифметическая функция определяется как число положительных делителей натурального числа
Предложение 1. Функция мультипликативна, т.е. , если
Из этого предложения 1 легко выводится следующее
Предложение 2. Если - каноническое разложение натурального числа , то
Доказательства предложений 1 и 2 приводятся во всех учебниках по теории чисел (напр. см. [4,6])
Предложение 3. Для числа делителя натурального числа имеет место неравенство
Доказательство. Пусть и - канонические разложения чисел и , и пусть
, ,…, - все простые делители наибольшего общего делителя чисел и . Тогда ясно, что
. (1)
Но так как справедливо неравенство
, (2)
то неравенство (1) с учетом (2) и предложения 2 перейдет в следующие соотношения
Предложение 3 доказано
Предложение 4. Для имеет место неравенство
,
где - произвольное положительное число, - постоянная, зависящая только от
Доказательство. Мы следуем рассуждениям в [4,5] (доказательство имеется также в [3]). Пусть - каноническое разложение числа . Тогда имеем
Рассмотрим отношение , в случаях и
Если , то , так как
Если , то считая , получим
Поэтому
Следовательно, полагая , получим неравенство
Предложение 4 доказано
Следующее предложение характеризует среднее значение в нужной для нас форме
Предложение 5. Для имеет место следующая оценка сверху
,
где - постоянная
Доказательство. Имеем
Последняя сумма геометрически представляет собой число целых точек в первой четверти, лежащих на или под гиперболой , при этом целые точки, лежащие на осях координат исключаются, так как для них . Поэтому исследуемую сумму можно записать в виде
, где - целая часть числа
Оцениваем теперь сумму
,
где
Здесь мы воспользовались следующим соотношением из математического анализа
,
где
есть так называемая постоянная Эйлера
Предложение 5 доказано
Перейдем теперь к элементарному доказательству следующего результата
Теорема (Зигель). Для числа всех приведенных неопределенных бинарных квадратичных форм дискриминанта справедливо неравенство
,
где - произвольное положительное число, - постоянная, зависящая только от
Доказательство. Пусть - неопределенная приведенная форма дискриминанта . Тогда ,
,
Оценим сверху число приведенных форм с и . Тогда
Применяя к последней сумме предложения 3,4,5, получим
, где
Теорема доказана
О диагональных формах и оценка снизу числа классов в роде
В этом параграфе мы получим одну оценку снизу для числа классов в роде неопределенных бинарных квадратичных форм. Сначала введем соответствующие понятия
Определение 1. Целое число , не делящееся на простое число называется квадратичным вычетом по модулю простого числа, если число сравнимо с квадратом некоторого целого числа по модулю , т.е. - квадратичный вычет по модулю , если сравнение имеет решение; в противном случае число называется квадратичным невычетом по модулю . В теории квадратичных вычетов очень полезно использование так называемого символа Лежандра
Определение 2. Символом Лежандра числа по простому модулю , которое определяется следующим соотношением
Приведем некоторые основные свойства символа Лежандра, которые нам понадобятся
Свойство 1 . , если
Свойство 2 . Если , то (свойство периодичности)
Свойство 3 . (свойство мультипликативности)
Свойство 4 . , если
Определим теперь понятие рода квадратичных форм, впервые введенное Гауссом. Совокупность классов собственно примитивного порядка данного дискриминанта Гаусс в своей арифметической теории квадратичных форм разделяет на ряды, относя в один и тот же род все те классы, формы которых имеют и тот же «характер». Под характером примитивной формы или примитивного класса форм Гаусс понимает следующее
Пусть - простой делитель дискриминанта , и пусть число всех этих различных модулей равно . Можно показать, что если - один из этих модулей, то для всех чисел , представимых данной собственно примитивной формой дискриминанта и взаимно простых с , символы Лежандра имеют одно и то же значение. В самом деле, пусть
- собственно примитивная форма дискриминанта и - любой нечетный простой делитель числа и , - два числа, представляемых формой и не делящихся на . Подстановка определителя переводит в форму (см. соотношения (3) §1), причем , откуда , т.е. в силу определения символа Лежандра имеем . Из этого равенства в очередь на основании свойств 3 и 4следует, что
Символ Лежандра имеет одно и то же значение для всех чисел , представляемых формой . Выпишем эти символы Лежандра, которые все равны или для всех указанных модулей , взятых в определенном выбранном порядке
Тогда для данной квадратичной формы получается некоторая определенная последовательность чисел, равных . Эта последовательность чисел, равных и называется характером рассматриваемой собственно примитивной бинарной квадратичной формы дискриминанта или характером класса этой формы