Основні теореми про границі числової послідовності

Алгебра 11 класс

Сейчас 63 гостей онлайн

Теорема 1. Нехай Послідовності і мають відповідно Границі a і b. Тоді послідовність має границю .

.

Теорема 2. Нехай Послідовності і мають відповідно Границі a і b. Тоді послідовність має границю, яка дорівнює ab:

.

Наслідки

1) Сталий множник можна виносити за знак Границі. Якщо С — сonst і має границю, то .

2) Якщо , а k — натуральне число, то .

Теорема 3. Нехай Послідовності і мають скінченні Границі, які відповідно дорівнюють , , причому . Тоді послідовність має скінченну границю, яка дорівнює :

.

Послідовність називається Неспадною (незростаючою), якщо для будь-якого n Є N виконується нерівність .

Неспадні та незростаючі Послідовності називають Монотонними.

Якщо значення членів монотонної Послідовності для будь-якого n Є N задовольняють строгу нерівність , то послідовність називають Зростаючою (спадною). Зростаючі та спадні Послідовності називають також Строго монотонними.

Теорема 4 (Вейєрштрасса). Зростаюча або спадна обмежена послідовність має границю.

Теорема 5. Якщо послідовність має границю, то ця границя єдина.

Приклади границь послідовностей

1)

.

2)

.

Зверніть увагу на таку границю:

.

Число е є основою натурального логарифма. Позначення: . Число е є ірраціональним, його наближене значення .

Показникова функція з основою е називається Експонентою.