Застосування похідної

Алгебра 11 класс

Сейчас 62 гостей онлайн

Нехай функція визначена на проміжку і .

Функція називається Зростаючою в точці, якщо існує інтервал , де , який міститься у проміжку і є таким, що для всіх x з інтервалу і для всіх x з інтервалу .

Функція називається Спадною в точці, якщо існує інтервал , який міститься в проміжку і є таким, що для будь-якого x з інтервалу і для будь-якого x з інтервалу .

Означення точок екстремуму описано в розділі «Алгебра. 10 клас».

Якщо функція зростаюча (спадна) у кожній точці проміжку , то вона зростаюча (спадна) на цьому проміжку.

Теорема 1. Якщо функція в кожній точці інтервалу має похідну , то функція зростає (спадає) на .

Зверніть увагу:

1) Якщо функція f є неперервною в якомусь із кінців інтервалу , то цю точку можна приєднати до інтервалу зростання (спадання).

2) Для розв’язування задач зручно користуватися таким твердженням: точки, у яких похідна дорівнює 0 або не існує, поділяють область визначення функції f на проміжки, у кожному з яких зберігає незмінний знак.

Внутрішня точка області визначення функції, у якій похідна дорівнює нулю або не існує, називаються Критичною точкою функції.

Внутрішня точка області визначення, у якій , називається Стаціонарною точкою функції.

Теорема 2. Якщо функція у внутрішній точці області визначення має екстремум, то в цій точці похідна , якщо вона існує, дорівнює нулю.

Теорема 3. Якщо функція f є неперервною в точці , а на інтервалі і на інтервалі , то точка є точкою максимуму функції.

Теорема 4. Якщо функція f є неперервною в точці , а на інтервалі і на інтервалі , то точка є точкою мінімуму функції f.

Теорема 5. Нехай точка є стаціонарною для функції і нехай в цій точці існує похідна другого порядку . Тоді, якщо , то є точкою мінімуму і, якщо , то є точкою максимуму функції .

Найбільше і найменше значення функції на відрізку

Щоб знайти найбільше (найменше) значення неперервної функції на відрізку , треба знайти всі локальні максимуми (мінімуми) і порівняти їх зі значеннями функції, яких вона набуває на кінцях відрізка. Найбільше (найменше) число серед утвореної множини і буде найбільшим (найменшим) значенням функції, заданої на відрізку .